MÓDULO I

SISTEMA DE NUMERACION



ESPECIALIDAD: MATEMATICA





MARCO ANTONIO CASTRO MARQUEZ












ENERO – JUNIO 2008

















INDICE


SESION 1: SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

1. Lectura Reflexiva.
2. Desarrollo Temático.
2.1 Conceptos Básicos.
2.2 Principios del SND.
2.2.1 Orden.
2.2.2 Valor absoluto y relativo.
2.2.3 Valor posicional.
2.2.4 Tablero posicional del SND.
2.2.5 Descomposición polinómica.
2.3 Operación en el Conjunto de R
2.3.1 Adición.
2.3.1.1 Propiedades de la adición.
2.3.2 Sustracción.
2.3.2.1 Propiedades.
2.3.2.2 Complemento aritmético.
2.3.3 Multiplicación.
2.3.3.1 Propiedades.
2.3.4 División.
2.3.4.1 Clases de división.
2.3.4.2 Propiedades de la división inexacta.

3. Miscelánea de Problemas Resueltos.
4. Problemas Propuestos.
5. Problemas Domiciliarios.

SESION 2: CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

1. Lectura Reflexiva.
2. Desarrollo temático.
2.1. Definición.
2.2. Divisores De Un Número.
2.3. Múltiplos de un número.
2.4. Criterios De Divisibilidad.
2.4.1. Criterio de divisibilidad por 2.
2.4.2 criterio de divisibilidad por 3.
2.4.3. Criterio de divisibilidad por 4.
2.4.4. Criterio de divisibilidad por 5.
2.4.5. Criterio de divisibilidad por 6.
2.4.6. Criterio de divisibilidad por 7.
2.4.7. Criterio de divisibilidad por 8.
2.4.8. Criterio de divisibilidad por 9.
2.4.9. Criterio de divisibilidad por 11.
3. problemas resueltos.
4. Problemas propuestos.
5. Problemas domiciliarios.

SESION 3: NUMEROS PRIMOS.
1. Lectura Reflexiva.
2. Desarrollo temático.
2.1 número primo.
2.1.1 definición.
2.2 número compuesto.
2.2.1 definición.
2.3 números primos entre sí.
2.3.1 definición.
2.4 Descomposición de un número en una multiplicación indicada de sus factores primos.
2.5 Divisores De Un Número.
3. Problemas resueltos.
4. Problemas propuestos.
5. Problemas domiciliarios.

SESION 4: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D).

1. Lectura Reflexiva.
2. DESARROLLO TEMÁTICO.

2.1. MÉTODOS PARA HALLAR EL M. C. D.
A. Mediante la intersección de conjuntos.
B. Por descomposición en sus factores primos.
C. Por descomposición simultánea.
D. POR DIVISIONES SUCESIVAS.

2.2. PROPIEDADES DEL M.C.D.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M).

1. Actividad motivadora.
2. Desarrollo temático.

2.1. Métodos para hallar el M.C.M.
A) Mediante la intersección.
B) Por descomposición en sus factores primos.
C. Por descomposición simultánea.
2.2. Propiedades del M.C.M.
2.3 propiedades del M.C.D. y el M.C.M
3. Problemas resueltos de M.C.D. y M.C.M
4. Problemas propuestos.
5. problemas domiciliarios.

SESION 5: FRACCION DECIMAL.

1. Lectura Reflexiva.
2. Desarrollo temático.
2.1. Estructura decimal.
2.2. Fracciones decimales.
2.3. Conversión de un decimal en una fracción.
2.4. Adición de fracciones decimales.
2.5. Adición de números decimales.
2.6. Sustracción de fracciones decimales.
2.7. Sustracción de números decimales.
2.8. Multiplicación de números decimales.
2.9. División de números decimales.
3. Problemas resueltos.
4. problemas propuestos.
5. Problemas domiciliarios.



3. ESQUEMA DE LOS CONTENIDOS:



SESION 1: SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

OBJETIVOS:

Analiza y aplica los diferentes contenidos a través de procedimientos y técnicas de estimación con números en el sistema numeración decimal expresándolos de forma oral y escrita.
formula y resuelve problemas de la vida cotidiana haciendo uso de los principios del sistema de numeración decimal, decodificando o representando números requeridos en los problemas.
Comprende las necesidades de utilizar algoritmos para facilitar las relaciones cotidianas.
1. LECTURA REFLEXIVA.

En el hombre al ir creciendo el campo de sus actividades o el número de los integrantes de su tribu, la necesidad de cazar más animales o recoger mas frutas, sintiese a su vez la necesidad de comparar conjuntos cada vez más grandes, y que por lo tanto sobrepasen al conjunto auxiliar de los dedos de las manos.
Fue entonces que ideo el empleo de los guijarros, las piedrecitas, al sacar en las mañanas a su ganado para el pastoreo, por cada uno de los animales colocaba una piedrecita en el montón que le serviría entonces en su control. Si al volver sobrase ninguna, era que todos los animales habían vuelto. De esta manera comienza de familiarizarse con la comparación de conjunto cada vez más grandes.
Es indudable que no por mera casualidad, casi todos los sistemas numéricos conocidos adoptaron como base el numero 10, o números relacionados con el 5, como 20 y 60; debemos esto seguramente a los dedos de las manos, como el conjunto más primitivo, el hecho de haber tomado aquellos números como las bases de estos sistemas de numeración.

En efecto, al contar los elementos de un conjunto muy grande, fueron agrupando esos elementos en grupos de 10 a 5 elementos, para decir por ejemplo: “cuatro grupos más siete”, en vez de 47, si los grupos eran de 10.

2. DESARROLLO TEMÁTICO.

2.1 Concepto Básicos
Numeración: Es parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

Número: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad.

Numeral: Es la representación simbólica o figurativa del número. Ejemplo:

Notación General de los Números Arábigos
· Numeral de una cifra:
· Numeral de dos cifras:
· Numeral de tres cifras: . Etc.

Numeral Capicúa

Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica; es decir, las cifras equidistantes de los extremos son iguales.

Ejemplos:
a) Numeral de la forma:
11, 22, .................................
b) Numeral de la forma:
101, 212, 323,.....................
c) Numeral de la forma:
1001, 1111,……………………
d) En forma de palabras Políndromas

2.2 Principios del SND

2.2.1 Orden

Es el lugar que ocupa cada cifra en un número, las órdenes se enumeran de derecha a izquierda, podemos visualizarlas mejor en el tablero posicional, donde su estructura está constituida de la siguiente manera: 3 órdenes consecutivas constituyen una clase y 2 clases un periodo. Es decir que la estructura del S.N.D jerárquicamente, es la siguiente: órdenes, clases y periodos.

Ejemplo: indica las órdenes que ocupa cada dígito del número 28 537
7 → 1er. Orden, orden unidades.
3 → 2do. Orden, orden decenas.
5 → 3er. Orden, orden centenas.
8 → 4to. Orden, orden unidades de millar.
2 → 5to. Orden, orden decenas de millar.
2.2.2 Valor absoluto y relativo

Valor Relativo: Es el valor de la cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.

Valor Absoluto: Es el valor que tiene una cifra por su apariencia o carácter
Ejemplo: determine el valor relativo (VR) y absoluto (VA) que posee cada cifra del número 578 946.


5
7
8
9
4
6
VR.
5 CM
7 DM
8 UM
9 C
4 D
6 U
VA.
(5) = 5
(7) = 7
(8) = 8
(9) = 9
(4) = 4
(6) = 6

Es importante repetir que un numeral en el S.N.D., cada posición es diez veces mayor que la que está inmediatamente a su derecha.

Ejemplo: Determinar la posición relativa de las cifras: 4; 7; 9; 6 en el numeral 487 009 613
4 → centenas de millón
7 → unidades de millón
9 → unidades de millar
6 → centenas

2.2.3 Valor posicional

Es el valor de los dígitos según su posición en el numeral. Observemos el siguiente cuadro que aparece, hasta la centena de millón.

9ª
Orden
8ª
Orden
7ª
Orden
6ª
Orden
5ª
Orden
4ª
Orden
3ª
Orden
2ª
Orden
1ª
Orden
Centenas de millón
Decenas
de Millón
Unidades de millón
Centenas
de millar
Decenas de millar
Unidades
de millar
Cente-
nas
Dece
nas
Unida
des
CMi
DMi
UMi
CM
DM
UM
C
D
U

Donde:
Diez unidades forman una decena.
Diez decenas forman una centena.
Diez centenas forman una unidad de mil.
Diez unidades de mil forman una decena de mil.
Diez decenas de mil forman una centena de mil.
Diez centenas de mil forman una unidad de millón.
Diez unidades de millón forman una decena de millón.
Diez decenas de millón forman una centena de millón.

INTRODUCCION A LA ESTADISTICA

Modulo de Estadística

Definiciones

• 
  Conjunto de métodos científicos ligados a la toma, organización, recopilación, presentación y análisis de datos, tanto para la deducción de conclusiones como para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales análisis.





• 
  Arte de la decisión en presencia de incertidumbre.





• 
  Ciencia que sirve para demostrar que dos personas han leído 2 libros cada uno, cuando en realidad una ha leído cuatro uno y el otro ninguno.
  ¿Por qué la estadística?
  ¿Usaron la estadística Galileo, Newton y Einstein?
  En ciertas ciencias (Biología, Ciencias Humanas, algunos campos de la Física,...) aparece el concepto de experimento aleatorio (experimento que repetido en las "mismas condiciones" no produce el mismo resultado) y asociado al mismo el de variable aleatoria.
  Una variable no aleatoria (asociada al resultado de una experiencia que sí produce el mismo resultado) está caracterizada por un valor para cada condición.
  Una variable aleatoria está caracterizada por la llamada función densidad de probabilidad, a partir de la cual se obtienen las probabilidades para sus posibles valores para cada condición.
  Los objetivos de la investigación científica se pueden entender, de un modo muy general, en términos de encontrar y describir las variables de interés y las relaciones entre ellas, para el problema en estudio.
  La estadística es la ciencia que estudia los métodos que permiten realizar este proceso para variables aleatorias. Estos métodos permiten resumir datos y acotar el papel de la casualidad (azar).
  
  Población, elementos y caracteres.
  Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos población.
  Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo.
  A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres:
  Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso, Altura, Color de pelo, Etc.
  Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más aspectos cualidades o caracteres.
  La población puede ser según su tamaño de dos tipos:
  Población finita: cuando el número de elementos que la forman es finito, por ejemplo el número de alumnos de un centro de enseñanza, o grupo clase.
  Población infinita: cuando el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos. Como por ejemplo si se realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas calidades que esta población podría considerarse infinita.
  Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma. Este subconjunto puede ser una muestra, cuando se toman un determinado número de elementos de la población, sin que en principio tengan nada en común; o una subpoblación, que es el subconjunto de la población formado por los elementos de la población que comparten una determinada característica, por ejemplo de los alumnos del centro la subpoblación formada por los alumnos de 3º grado, o la subpoblación de los varones.
  
  Tipos de Estadística
  La estadística descriptiva es una ciencia que analiza series de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, etc.) y trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables.
  La inferencia estadística es una parte de la Estadística que comprende los métodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de una pequeña parte de la misma (muestra).
  La bondad de estas deducciones se mide en términos probabilísticas, es decir, toda inferencia se acompaña de su probabilidad de acierto.
  La estadística inferencial comprende:
  La Teoría de muestras.
  La estimación de parámetros.
  El Contraste de hipótesis.
  El Diseño experimental.
  La Inferencia bayesiana.
  Tipos de Variables:
  

Las variables pueden ser de dos tipos:

• 
  Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo, nivel de instrucción, distrito de procedencia, tipo de institución educativa).







• 
  Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales, alumnos matriculados, alumnos repitentes, alumnos desertores).

Las variables también se pueden clasificar en:

• 
  Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alumnos de una clase).







• 
  Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).







• 
  Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

• 
  Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3...., etc., pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45 hermanos).







• 
  Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 Km./h, 94,57 Km./h...etc.

Cuando se estudia el comportamiento de una variable hay que distinguir los siguientes conceptos:

• 
  Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es un individuo.







• 
  Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos el precio de la vivienda en una ciudad, la población será el total de las viviendas de dicha ciudad.







• 
  Muestra: subconjunto que seleccionamos de la población. Así, si se estudia el precio de la vivienda de una ciudad, lo normal será no recoger información sobre todas las viviendas de la ciudad (sería una labor muy compleja), sino que se suele seleccionar un subgrupo (muestra) que se entienda que es suficientemente representativo.

EL MÉTODO DE INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA:

• 
  El método de investigación estadística comprende las cinco fases siguientes:
   Preparación del trabajo.
   Recopilación de los datos.
   Evaluación y depuración de los datos.
   Presentación de los datos.
   Análisis e interpretación.
  PRIMERA FASE O PREPARACION DEL TRABAJO
  Se limita a la redacción de las instrucciones para recabar los datos, definición precisa de los datos que se necesitan; diseño de formularios y planillas, planificación y organización del trabajo en el espacio y en el tiempo.
  En esta fase deben quedar perfectamente claros los conceptos y cada participante debe conocer a cabalidad sus atribuciones y responsabilidades; ya que las dudas o malas interpretaciones echarán a perder el resto de la investigación.
  SEGUNDA FASE O RECOPILACION DE LOS DATOS
  En ella se recaban los datos necesarios para la investigación, mediante encuestas, muestreos, censos, o se toman de fuentes secundarias o registros y publicaciones.
  La eficiencia con que se realice esta etapa generará la calidad de todo el trabajo de investigación estadística.
  TERCERA FASE O EVALUACIÓN DE LOS DATOS
  Los datos recopilados, en la vida real, suelen adolecer de imperfecciones y errores varios; debidos a la ignorancia, a malos entendidos, a intereses creados o a prejuicios sociales, de parte de quien aporta los datos o de quien los recaba. De allí que el paso inmediato sería una depuración y evaluación de tales datos, a fin de subsanar o mitigar las influencias y efectos de tales errores e imperfecciones. Para lograrlo se recomiendan los siguientes procedimientos:
   Revisión total de los cálculos, de las tabulaciones y del procedimiento utilizado.
   Confrontar los datos recopilados, con los obtenidos al cálculo, con los de otras regiones o países, tomados en otras ocasiones o con otra finalidad.
   Repetir al muestreo, el mismo trabajo, en zonas estratégicamente escogidas; cuando en las verificaciones anteriores se hubieran obtenido notorias discrepancias.
  
  CUARTA FASE O PRESENTACIÓN DE LOS DATOS
  Los datos suelen estar presentados en forma tabular, en cuadros de doble entrada, proporcionales, porcentuales, o en valores promedios. También suelen representarse gráficamente, mediante: Histogramas, polígonos, diagramas figurados, prismogramas, pictogramas, dibujos acotados, entre otros.
  QUINTA FASE O ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS DATOS
  Podría decirse que es ésta la fase más amplia de todas y en la cual la investigación rinde sus mejores frutos. Desde la más remota antigüedad se ha venido aplicando el análisis estadístico a las investigaciones demográficas, socioeconómicas, fiscales, entre otros. Obteniéndose así índices y tendencias de natalidad, mortalidad, mortinalidad (nacidos muertos), nupcialidad, inmigración, emigración, etc. De generalización más reciente tenemos los índices y tendencias del costo de la vida, de tan rotunda actualidad; los cuales se obtienen sumando los costos promedios de alimentos, vivienda, medicinas, ropas y servicios consumidos por una persona, familia, estándar, en el período que se estudia. Igualmente, los índices de productividad o relación entre la producción y las horas - hombre de trabajo en ella utilizadas.

ELABORACIÓN DE TABLA DE FRECUENCIAS PARA DATOS NO AGRUPADOS (variables cualitativas):

Seleccionamos al azar alumnos matriculados en el primer año de secundaria en la Institución Educativa “Tupac Amaru” de Villa Maria del Triunfo durante el año 2007 y registramos la zona de residencia.
Cercado de Villa Maria: 1
José Carlos Mariategui: 2
Nueva Esperanza: 3
Tablada de Lurin: 4
José Gálvez: 5
Mariano Melgar: 6
San Gabriel: 7

ELABORACIÓN DE TABLA DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS (variables cuantitativas)
Seleccionamos al azar alumnos matriculados en secundaria en la Institución Educativa “Tupac Amaru” de Villa Maria del Triunfo durante el año 2007 y registramos sus edades tal como se muestra en la siguiente tabla.

ELABORACIÓN DE TABLA DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS (variables cuantitativas):
Seleccionamos al azar alumnos matriculados en secundaria en la Institución Educativa “Tupac Amaru” de Villa Maria del Triunfo durante el año 2007 y registramos sus edades.

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